Programming Project: The Frequencies of Musical Notes

Programming    Project:    The    Frequencies    of    Musical    Notes
CPSC-298-6    Programming    in    C++

Introduction
Audio    programming,    a    key    subfield    in    computer    game    development,    relies    on    C++
for    performance    and    for    the    language's facilities    for low-level    interaction    with    
hardware.    Signal    processing    applications,    such    as    those    for acoustic    signal    
processing    and    radio    frequency,    or    R/F, signal    processing,    often    depend    on    C++    for    
the    same    reasons.    
In    this    assignment,    you'll    investigate    the    frequencies    of    musical    notes    and    their    
mathematical    relation.    
In    particular,    you'll    implement    the    formula    for    computing    the    frequencies    of    musical    
notes    given    a    reference    frequency.
fk,ν =    fR × 2(ν)+    k/12                        
where    
fR is    the    Reference    Frequency,    in    this    case    16.35    Hz    (cycles    per    second),    the    frequency    of    the    note    C    
in    octave    0    (denoted    by    C0).
ν is the    octave    number    (which    ranges    from    0    to    9 for    our    purposes)
k is    the    half-step    (or    semitone    number)    within    the    octave,    it    has    values    between    0    and    11    inclusive.
fk,ν is    the    frequency    of    the    note    in    octave    ν    whose    half-step    within    the    octave    is    k.    1
The    reference    frequency    typically    used    is 440Hz, corresponding    to    note    A4,    which    is
the    A    note    in    (piano)    octave    4.    The    equation    when    this    value    is    used    for    fR is    a    bit    
more    complex    and    less    intuitive;    we'll    stick    with    C0 and    use    16.35    Hz    as    our
reference    frequency.
The    next    section    provides    you    with    some    background    on    the    assignment.    You    can    
skip    this    section    and    go    directly    to    the    Assignment    section    if    you'd    like.    However,    
you    might    find    the    background    information    helpful    and    possibly    even    interesting.
Background
You    may    be    more    familiar    with    music    than    signal    processing;    however,    both    have    
their    foundations    in    mathematics.
                                                                                                                                                                                                                             1 More    technically,    it    is    frequency    of    equal-tempered    interval    k in    octave    ν. The    octaves        are    named    in    
the    order    of    their    appearance    on    a    standard    88-key    piano    keyboard,    beginning    with    octave    0    (or    the    
"zero'th    octave").
2
The    musical    notes    you're    familiar    with have    very    specific    frequencies    that    are    
mathematically    related    to    each    other. (Incidentally,    we    perceive    frequency    as    pitch;    
the    higher    the    frequency    the    higher    the    pitch.)
For    a    piano or    other    string    instrument,    frequency    is    the    rate    of    oscillation    (or. more    
accurately,    vibration)    of    the    strings    used    to    produce    the    sound.    Frequency    is    
measured    in    cycles per    second,    or    cycles/second.    The unit    of    frequency    is    called    the    
Hertz,    and    is    abbreviated    Hz.    Its    dimensions    are    inverse    seconds    because    cycles    (as    
in    cycles    per    second)    is    just    a    count    - we    call    it    a    "pure"    number;    it    has    no    
dimensions,    so    we're    left    with    seconds    in    the    denominator    or    s-1 (inverse    seconds)    
for    Hz.
The    notes    whose    familiar    syllables    are    "do",    "re", "me", "fa",    "so", "la", and    "ti"        have    
letter    designations,    C,    D,    E,    F    G,    A,    and    B,    respectively,    as    show    in    the    diatonic    scale    
below.    (You    don't    need    to    know    this    to    do    the    assignment,    but    you    may    find    it    
interesting.)
The    Diatonic    Scale
You    may    recognize    these    notes    on    the    piano    keyboard    as shown    in    the    figure    below.
3
A    Portion    of    the    Piano    Keyboard
But    piano    keyboards    have    a    lot    more    keys    that    just    what    is    shown    above;    what's    
going    on?
The    notes    sort    of    repeat    themselves.    They're    arranged    in    octaves    where    the    notes    in    
the    next    higher    octave    have    twice    the    frequency.    
Let's    look    at    an    example,    C0,    the    note    with    the    lowest    frequency,    a    meager    16.35    
cycles    per    second    (16.35    Hz).    C0 is    in    the    zero'th    octave.    The    next    octave    is    1    and    the    
C    note    in    that    octave,    denoted    as    C1,    has    a    frequency    of    32.70    Hz,    twice    as    much.    The    
C    in    octave    2,    C2,    has    a    frequency    twice    that    of    C1,    or    65.41    (there's    a    little    rounding    
error).     Each    time    you    go    up    an    octave,    the    frequency    doubles.    
C0 16.35 Hz (Too    low    for    the    piano)
C1 32.70 Hz
C2 65.41 Hz
C3 130.81 Hz
C4 261.626 Hz ("Middle    C")
C5 523.251 Hz
C6 1046.502 Hz
C7 2093.005 Hz
C8 4186.009 Hz (highest    note    of    piano)
C9 8372.018 Hz
The    same    holds    true    for    the    other    notes    too;    take    A    for    example.    
A    in    octave    0,    or    A0,    has    a    frequency    of    27.5    Hz;    it's    the    lowest    note    on    the    piano.    
4
A0 27.5    Hz (Lowest    note    of    piano)
A1 55 Hz
A2 110    Hz
A3 220    Hz
A4 440    Hz (Tuning    Reference    Note)
A5 880 Hz
A6 1760 Hz
A7 3520 Hz
A8 7040 Hz
A9         14080 Hz
So,    for    any    note    with    a    frequency,    f, its    equivalent    in    the    next    higher    octave    has    a    
frequency    of    2*f.    And    the    frequency    of    its    equivalent    two    octaves    up    is    2*2*f.    Three    
octaves    up,    it's    2*2*2*f. The    frequency    of    its    equivalent    one    octave    down    is    f/2.    Two    
octaves    down,    it's    f/(2*2)    or    f/4.
But    what    about    the    other    notes, the    ones on    the    black    keys,    C# (C    Sharp)    and    D♭ (D    
Flat,    sometime    written    Db).    The    sharp    symbol    in    C# means the    note "is    a    little    higher    
in    pitch    (or    frequency)"    than    C    and    the    flat    symbol    in    D♭ means    "a    little    power    in    
pitch    (or    frequency)    than    D."    C# (C Sharp)    and    D♭ (D    Flat)    have    the    same    frequency    -
they're    just    different    perspectives    of    the    same    thing.    
The    frequency    of    C# in the    zero'th    octave,    C#0,    is    17.32    Hz,    just    a    little    higher    than    C0    
at    16.35.    (And    this    is    the    frequency    of    D♭
0 ,    too.)
Let's    take    a    look    at    the    frequencies    of    all    the    notes    in    the    zero'th    octave.    
5
Frequencies    of    Notes    in    the    Zero'th    Octave in    Hertz
You    learned    earlier    that    to    go from    C0 (C    in    the    zero'th    octave)    to    C1 (C    in    the    first    
octave),    you    just    double    the    frequency.    (C0    has    a    frequency    of    16.35    Hz    and    C1    has    a    
frequency    of    32.70    Hz    - exactly    double.)    But    what    about    going    from    C0 to    C#0,    the    
next    note    right    after    C0?            
That's    a    little    harder.    Each    transition    (from C0 to    C#0 ,    for    instance)    is    called    a    half    
step.    (Transitioning    from    one    row    to    the    next    row    in    the    table    above    is    one    half    step;    
to    go    from    the    top    to    the    bottom    is    11    half    steps.)    It    turns    out    the    formula    is:
fn =    fR *    (a)n
where
*    indicates    multiplication,    as    in    a    C++    program.    
fR = the    frequency    of    one    fixed    note,    the    reference    frequency, which    must    be    defined.    
n    = the    number    of    half    steps    away    from    the    fixed    note    you    are.    If    you    are    at    a    higher    
note, n is    positive.    If    you    are    on    a    lower    note, n is    negative.
fn = the    frequency    of    the    note n half    steps    away.
a    = (2)1/12 =    the    twelfth root    of    2    =    the    number    which    when    multiplied    by    itself    12    
times    equals    2    =    1.059463094359...
So,    let's    see    if    this    works    for    single    half    step    from    C0 to    C#0.
In    this    case:    
6
fR is    the    frequency    of    C0,    which    is    16.35    Hz
n is    the    number    of    half    steps    from    C0 to    C#0,    which    is    1.    
a is    approximately    1.059463094359
fn is    just    f1 (one    step    from    0),    the    frequency    of    C#0,    the    value    we    want    to    compute,    
which    from    our    table    should    be    17.32    Hz.    
fn =    fR *    (a)n
f1 =    16.35    Hz *    (1.059463094359)1
f1 =    16.35    Hz *    1.059463094359
f1 =    17.32 Hz (approximately)
17.32    Hz    is    exactly    what    we    were    looking    for.    
Now,    let's    see    if    this    works    if    we    go    up    a    full    octave.    Recall    that    there    are    11    half    
steps    on    the    zero'th    octave    (count    them    if    you'd    like    to    double    check    this).    So,    to    get    
to    the    next    octave    we    just    need    to    go    one    more,    or    12    half    steps.     The    table    below    
shows    the    frequencies    of    the    notes    in    octave    0    and    the    frequency    of    the    first    note    in    
octave    1, C0 ,    which    is    what    we're    looking    for.    
Frequencies    of    Notes    in    the    Zero'th    Octave    in    Hertz    as    well    as    C1,    the    C    of    the    1st    
Octave
7
For    this    case:    
fR is    the    frequency    of    C0,    which    is    16.35    Hz
n is    the    number    of    half    steps    from    C0 to    C1,    which    is    12.    
a is    approximately    1.059463094359
fn is    just    f12 (twelve step    from    0),    the    frequency    of    C#0,    the    value    we    want    to    
compute,    which    from    our    table    should    be    17.32    Hz.    
f12 =    fR *    (a)12
But    a is    (2)1/12 =    the    twelfth    root    of    2,    and    ((2)1/12)12 is    (2)12/12,    which    is    (2)1 or    2.
f12 =    f0 * 2
f12 =    (16.35    Hz) * 2
f12 =    32.70    Hz
The    frequency    of    C1 is    32.70,    exactly    double    that    of    C0,    exactly    what    it    should    be.    
Let's    simplify    our    formula    to    make    "jumping    to    the    next    octave    easier. We'll    
introduce    a    new    variable,    nu,    ,    which    is    the    octave    number.    Instead    of    n    for    the    
number    of    half    steps    in    total,    we'll    use    k,    which    is    the    number    of    half    steps    within    an    
octave,    and    so    has    values    from    0    to    11,    inclusive.
fk,ν =    fR × 2(ν)+    k/12                        
fR is    the    Reference    Frequency,    in    this    case    16.35 Hz    (cycles    per    second),    the    Frequency    of    the    note    C    
in    octave    0,    the    "zero'th    octave,    (denoted    by    C0).    
ν is the    octave    number    (which    ranges    from    0    to    9    for    our    purposes)
k is    the half-step    (or    semitone    number)    within    the    octave,    it    has    values    between    0    and    11    inclusive.
fk,ν is    the    frequency    of    the    note    in    octave    ν    whose    half-step    within    the    octave    is    k.    2
Our    original    formula,    
fk,ν =    fR × 2(ν)+    k/12                        
can    be    rewritten    as (we    converted    exponent    addition    to    multiplication)    
fk,ν =    fR × 2(ν) ×    2k/12                        
Let's    compute    the    frequency    of    D3,    the    D    note    in    octave    3,    whose    frequency    is    
146.83. In    this    case    ν is    3    (D3 is    in    octave    3),    k    is    2    (D3 is    two    half    tones    from    the    start
of    the    octave).    
                                                                                                                                                                                                                             2 More    technically,    it    is    frequency    of    equal-tempered    interval    k in    octave    ν.    The    octaves        are    named    in    
the    order    of    their    appearance    on    a    standard    88-key    piano    keyboard,    beginning    with    octave    0    (or    the    
"zero'th    octave").
8
Annotated    Excerpt    of    Table    of    Notes    and    Frequencies
fk,ν =    fR × 2(ν) ×    2k/12                        
fk,ν =    fR × 2(3) ×    22/12                        
fk,ν =    (16.35    Hz) × 2(3) ×    22/12                        
fk,ν =    (16.35    Hz) × 2*2*2    ×    22/12                        
fk,ν =    (16.35    Hz) × 8    ×    22/12                        
Remember    that    21/12 is    the    twelfth    root    of    2    which    is    approximately    
1.059463094359.    
fk,ν =    (16.35    Hz) × 8    ×    (1.059463094359)2                        
fk,ν =    (16.35    Hz) × 8    ×    (1.059463094359)    ×    (1.059463094359)                        
fk,ν =    146.818    Hz    which    is    very    close    to    146.83 Hz.    
Rather than    doing    this    by    hand,    let's    write    a    C++    program    to    compute    fk,ν.
You    haven't    studied    loops    or    functions    in    C++    yet,    so    writing    the    program    isn't    
straightforward.        
Assignment
Use    the    formula    below    to    compute    the    frequencies of    the    following    notes:    , C#0,    D0,    
D3 , C4, D#7,    and    C8.    
fk,ν =    fR × 2(ν)+    k/12                        
fR is    the    Reference    Frequency,    in    this    case    16.35 Hz    (cycles    per    second),    the    Frequency    of    the    note    C    
in    octave    0,    the    "zero'th    octave,    (denoted    by    C0).    
ν is the    octave    number    (which    ranges    from    0    to    9    for    our    purposes)
k is    the    half-step    (or    semitone    number)    within    the    octave,    it    has    values    between    0    and    11    inclusive.
fk,ν is    the    frequency    of    the    note    in    octave    ν    whose    half-step    within    the    octave    is    k.    3
                                                                                                                                                                                                                             3 More    technically,    it    is    the    frequency    of    the    equal-tempered    interval    k in    octave    ν.    The    octaves        are    
named    in    the    order    of    their    appearance    on    a    standard    88-key    piano    keyboard,    beginning    with    octave    
0    (or    the    "zero'th    octave").
9
It's    easier    to    code    the    formula    if    you    place    it    in    this    form:
fk,ν =    fR × 2(ν) ×    2k/12                        
Or,    even    better,    if    you    put    it    in this    form:    
fk,ν =    fR × 2(ν) ×    (21/12)k
Assume    that    the    twelfth    root    of    2    (21/12)is    1.059463094359.
Also    assume    the reference    frequency, fR ,    is    that    of    note    C0 and    is    exactly 16.35    Hz.
For    each    calculation,    display    the    name    of    the    note    (e.g.    "C#0",    "D0",    "C4",    "D#7"    and    
"C8"),    the    value    of    nu    (ν,    the    octave    number),    and    the    value    of    k    (the    half-tone    or    
interval    relative    to    the    start    of    the    octave)    and    the    computed    frequency, fk,ν.    
At    the    start    of    your    program,    display    the    reference    frequency,    fR,    16.35    Hz.    
Use    a    double    data    type to    hold    the    value    of    the    twelfth    root    of    2,    1.059463094359
(e.g.    double dTwelfthRootOfTwo).
Remember    if    you    need    to    square    1.059463094359,    you    can    just    multiply    it    by    itself:    
(1.059463094359 *    1.059463094359).    Cubing    it    is    just    as    easy:    
(1.059463094359 *    1.059463094359 *    1.059463094359)
Use    an    integer    data    type    to    store    values    such    as    2,    22,    23 (e.g.    long
iTwoRaisedToPowerNu);    of    course,    these    values    are    just    2,    4,    and    8.    
The    table    below    lists    the    notes,    their    octave    number    and    the    half-tone    offset    number    
from    the    start    of    the    octave.    It    also    lists    their    frequency    (and    wavelength)    for    you    to    
check    your    answers.    
Musical    Note ν
Octave    Number
k    
Half-tone    offset
Frequency    (Hz) Wavelength    (cm)
C0
Reference    
0 0 16.35    Hz 2109.89    cm
C#0 0 1 17.32    Hz 1991.47    cm
D0 0 2 18.35    Hz 1879.69    cm
C4    
(Middle    C)
4 0 261.63    Hz 131.87    cm
D#7 7 3 2489.02    Hz 13.86    cm
C8
(highest    piano    
note)
8 0 4186.01 Hz 8.24 cm
Incidentally,    what    is    2    raised    to    the    zero'th    power    (20)?    1    of    course.
For    each    frequency    you    compute,    fk,ν,    you'll    also    compute    and    display    the    
wavelength    using    the    following    equation.    
10
Wk,v =    c/    fk,ν
where    
Wk,v is    the wavelength,    c is    the    speed    of    sound    in    air    (at    room    temperature),    and    
fk,ν is    the    frequency.    
The    speed    of    sound    in    air    at    room    temperature    is    (roughly)    345    meters    per    second    
(345    m/s).     Near    the    start    of    your    program,    display    the    value    of    the    speed    of    sound.    
Also,    you'll    display    the    value    for    the    wavelength    in    centimeters    per    second    (cm/s).    
Remember    that    there    are    100    centimeters in    a    meter,    so    use    a    conversion    factor    
(100    cm/1    m).
The    output    of    your    program    will    appear    similar    to    that    shown    in    the    following    
screen    capture.
Notice    that    the    computed    frequency    and    wavelength    values    don't    match    the    
expected    values    exactly    (they're    very    close    though).    Why    is    that?    
The    next    section    provides    a    few    references    in    case    you    like    to    explore    further.     After    
this,    you'll    find    a    full    table    of    the    notes    with    their    frequencies    and    wavelengths.    
References
Loy,    Gareth.    Musimathics,    Volume    1    (p.    41).    MIT    Press,    2011.
Frequencies    of    Musical    Notes,    A4    =    440    Hz    (mtu.edu)
https://pages.mtu.edu/~suits/notefreqs.html
Formula    for    frequency    table    (mtu.edu)
https://pages.mtu.edu/~suits/NoteFreqCalcs.html
Table    of    Musical    Notes    and    Their    Frequencies    and    Wavelengths    
(liutaiomottola.com)
11
https://www.liutaiomottola.com/formulae/freqtab.htm
Appendix:    Table    of    Musical    Notes    and    their    Frequencies
12
13
14
15