Assignment 2 Call center data modeling 

Assignment 2  Call center data modeling & other exercises 
Submit your work as a PDF, or a Python notebook, or both if you want to separate your code and  your report. Please type up your answers, using Google Docs, LaTeX, Jupyter notebooks, CoCalc,  or a any other software that allows you to type text and math. Make sure your code is readable and  commented. 
Show your work for all exercises!  Do not simply turn in final answers. 
1. Call center data modeling  Complete the call center data modeling assignment we start in the Pre­class work and Activity 2  breakouts of Session 2.2. You may re­use and build on all code or any other work from the class  session. 
In class we completed the Bayesian data modeling problem for 1 hour of the day. In this  assignment you need to do the same analysis for all 24 hours of the day. 
1. Compute a 95% posterior confidence interval over the number of calls per minute (the call  rate  ) for each hour of the day — so you will have 24 confidence intervals. Also compute λ   the posterior mean of   for each hour of the day. λ   2. Present your results graphically using Matplotlib. Make a plot that looks like the one below.  Each dot is at the posterior mean and each line shows a 95% confidence interval for a  . λ   You can use the  errorbar()  function in the plotting library to do this. 
       3. Write a paragraph (100–200 words) to accompany your plot and present your findings to  the client. Carefully summarize how many calls you expect during different parts of the day,  and how much uncertainty there is in your estimates. Remember that the client is not an  expert in statistics, so make it easy for them to understand. You may also make additional  plots to help communicate your results. 
2. Stretch goal (optional)  1. Reparameterize the normal likelihood function in terms of the precision parameter,     σ . τ =1/ 2   2. Prove that if you substitute into the normal­inverse­gamma pdf   you get the     , σ =1/√τ   normal­gamma pdf, which is the conjugate prior for the normal likelihood with unknown  mean   and precision  μ . τ   3. As part of this transformation you will have to multiply by   Explain why this is needed   |  | dτ dσ  |  | .   in your own words and so that a student who has not yet encountered this concept can  understand it. 
More practice exercises (optional)  Below are additional practice exercises for you to attempt. These are optional and you can choose  to do as many or as few as you want. These exercises will not be graded. 
If you get stuck on any of them, contact your instructor with specific questions via email and during  office hours. Just saying “I’m stuck” is not enough — explain what you tried and where you got  stuck so your instructor can understand your thinking and where you might have missed something  or made a mistake. 
1. Answer the following questions using Python. 
a. Generate 1000 samples from a normal distribution with mean 100 and standard  deviation 10. How many of the numbers are at least 2 standard deviations away  from the mean? How many to you expect to be at least 2 standard deviations away  from the mean? 
b. Toss a fair coin 50 times. How many heads do you have? How many heads to you  expect to have? 
c. Roll a 6­sided die 1000 times. How many 6s did you get? How many 6s do you  expect to get? 
d. How much area (probability) is to the right of 1.5 for a normal distribution with mean  0 and standard deviation 2? 
2. Let   be the number of 6s in 1000 rolls of a fair die. y   a. Draw a sketch of the approximate distribution of   based on the normal ,y   approximation. 
b. Using the normal distribution function in SciPy, give approximate 5%, 25%, 50%,  75%, and 95% points for the distribution of  . y   3. A random sample of   students is drawn from a large population, and their weights are n   measured. The average weight of the sampled students is  75 kg. Assume the weights  y ˉ=   in the population are normally distributed with unknown mean   and known standard μ   deviation 10 kg. Suppose your prior distribution for   is normal with mean 180 and μ   standard deviation 40. 
a. Give your posterior distribution for   (Your answer will be a function of  ) .μ . n   b. A new student is sampled at random from the same population and has a weight of   pounds. Give a posterior predictive distribution for   (Your answer will still be ay ′ . y′   function of  ) .n   c. For   give a 95% posterior interval for theta and a 95% posterior predictive 0,n =1   interval for  . y′   d. Do the same for  00. n=1   4. Perfectly and partially observed data in the exponential model. 
a. Suppose    is exponentially distributed with rate   and the prior distribution of   | λy , λ λ  is Gamma  Suppose we observe that   but do not observe the exact α, β).(   00,  y≥1   value of   What is the posterior distribution,   as a function of   and .y (λ | y 00),  p ≥1 α   ? Write down the posterior mean and variance of β . λ   b. In the above problem, suppose that we are now told that   is exactly 100. Now what y   are the posterior mean and variance of  ? λ   c. Explain why the posterior variance of   is higher in part (b) even though more λ   specific information has been observed.